Peso Derivado!

Ejemplos de Derivadas

Ejercicios aplicativos

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Gráficas de las Derivadas

Derivada de una función en un punto

Dada una función f (x), y considerado un punto a de su dominio, se llama derivada de la función en ese punto, denotada como f ¿ (a), al siguiente límite:

Este límite también puede expresarse de las dos formas alternativas siguientes:

Apoyo gráfico para la definición de derivada en un punto.

Interpretación geométrica de la derivada

La definición de derivada tiene mucho que ver con el concepto de variación instantánea. Teniendo en cuenta que el cociente:

expresa la pendiente de la recta que pasa por (a, f (a)) y (b, f(b)), es lógico pensar que si b y a están muy próximos entre sí, separados por un valor h que tiende a cero, esta recta se aproximará a la recta tangente a la función en el punto x = a.

Tal es la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto: coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Mas sobre las Derivadas!

Te invito a que desarrolles este problema, en el cual podrás repasar muchas cosas, y podrás dimensionar y aplicar las derivadas. 

Espero te sirva!!

Se tiene un folio rectangular, de manera que la superficie que se puede imprimir en el folio es de 18 cm2 y tiene un margen izquierdo y derecho de 1cm y 2cm de margen superior e inferior. Averiguar cuáles son las dimensiones del folio de manera que la superficie del folio sea la más pequeña posible.

Historia de las Derivadas

Historia de las Derivada

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Issac Newton y Gottfried Leibniz).

En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:

• El  problema de la tangente a una curva 
• El teorema de los extremos: máximos y mínimos

En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como calculo diferencial

Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.

A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo 

diferencial, los otros al integral.

Newton y Leibniz

A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo.

Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, 

Aquí te dejo un vídeo en el que podrás entender mejor de donde provienen la derivadas

Lee mas en:

http://todosobreladerivada.blogspot.com.co/p/historia-de-la-derivada.html

Aplicaciones de las Derivadas a la vida Diaria

Las derivadas se utilizan para optimizar sistemas que se expresan mediante funciones más o menos complejas. Otra de sus aplicaciones es hallar los valores máximos o mínimos de ciertas expresiones (por ejemplo una inversión compleja en economía financiera). Otra es hallarlos intervalos de crecimiento o decrecimiento de valores de interés,siempre que se puedan representar mediante funciones, naturalmente

Si sabemos por ejemplo que los campeones de 100 metros lisos correnesa distancia en unos 10 segundos, al calcular la velocidad promedio de10 metros por segundo (36 km por hora) estamos haciendo una derivada, bajo el supuesto de que la velocidad fuera constante(velocidad promedio)

Segunda Aplicación 

Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x²+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.

c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece

Procedimiento:

-Se deriva la función:

R`(x)=-0,004x+0,8

-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:

R`(x)=0 , 

-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:

                 

se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0

Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local

b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.

c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)²+0,8.200-5=75 euros

Mas información:

http://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm

Que es una Derivada?

LAS DERIVADAS

Podemos definir las derivadas como  una noción de la  matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente.

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

La definición de derivada es la siguiente:

Propiedades de las Derivadas

Lee todo en:

•  Definición de derivada - Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/derivada/#ixzz3p8lGZsZ9
• http://www.vitutor.com/fun/4/d_f.html

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